云南省专升本数学专业《数学分析》考试大纲

    考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

    一、函数、极限与连续

    (一)函数

    1．知识范围
    函数的概念，函数的表示法与四则运算，复合函数，反函数，五类基本初等函数，初等函数，有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

2．考核目标
    (1)正确理解和掌握函数的概念，熟练地求函数的定义域和一些函数的值域。
    (2)理解和掌握有界函数、单调函数、偶函数、奇函数与周期函数概念，并会用定义判断函数的类别。
    (3)理解函数的四则运算与反函数的概念，掌握函数的复合运算。
    (4)掌握五类基本初等函数的定义与主要性质。

    (二)极限

    1．知识范围
    数列极限的定义，数列极限的唯一性、有界性、保号性、保序性，两边夹定理，四则运算定理，单调有界定理。
    函数极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，当X→∞(X→+∞，X→-∞)时函数极限的定义，函数极限的唯一性，局部有界性，局部保号性，局部保序性，四则运算定理，两边夹定理，海涅定理。两个重要极限： 。
    无穷小量与无穷大量的定义及其他们的关系、性质及无穷小量阶的比较。

    2．考核目标
    (1)理解和掌握数列极限与函数极限的概念，会用定义证明极限中一些有关问题。
    (2)熟练地应用极限的唯一性、有界(局部有界)性、保号(局部)性、保序(局部)性证明有关问题。
    (3)应用四则运算定理、两边夹定理、单调有界定理和两个重要极限，熟练地求极限。
    (4)理解无穷小与无穷大概念。

    (三)连续

    1．知识范围
    函数在一点左连续、右连续与连续的概念，在区间上连续，函数的间断点及其分类。
    函数在一点连续的性质：局部有界性，局部保号性，四则运算法则，复合函数与反函数的连续性。初等函数的连续性。
    函数在闭区间上连续的性质：介值定理，零点定理，最值定理，一致连续性定理。

    2．考核目标
    (1)理解和掌握函数连续的概念，函数一致连续的概念。
    (2)理解和掌握函数在一点处的连续性，并能应用它证明有关问题。知道间断点的分类。
    (3)掌握闭区间上连续函数的性质(不包括它们的证法)，能用这些性质证明有关问题。
    (4)知道初等函数在其定义区间上连续。

    二、一元函数微分学
 
   (一)导数与微分

    1．知识范围
    导数的定义，左、右导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系。    ．
    求导的运算法则：包括四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、参数方程求导法，以及分段函数求导法。
    微分的定义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式不变性。
    高阶导数的概念及计算。
    导数的几何应用。

    2．考核目标
    (1)掌握导数、微分的定义及几何意义，了解它们的差异。
    (2)牢记导数公式，会用四则运算法则、复合函数求导法、参数方程求导法熟练地求函数的导数。
    (3)会求一些函数的高阶导数。
    (4)熟练地计算函数的微分。

    (二)微分中值定理和泰勒公式

    1．知识范围
    费尔马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式。

    2．考核目标
    (1)掌握费尔马引理、罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论和证明方法，会用拉格朗日定理证明一些恒等式与不等式。
    (2)记住的马克劳林公式，会用它们求一些简单函数的展开式。

    (三)导数的应用
 
    1．知识范围
    罗必达法则，函数的单调性及其判定，应用函数的单调性证明不等式，函数的极值及其判定，最值的求法，函数的凹凸性及其判定，拐点，渐近线，函数作图。
 
    2．考核目标
    (1)熟练地应用罗必达法求待定型的极限，特别是型。
    (2)掌握用导数判定函数的方法。
    (3)掌握用函数的单调性证明不等式的方法。

    三、一元函数积分学

    (一)不定积分

    1．知识范围
    原函数与不定积分的概念，不定积分的运算法则，基本积分公式表。
    不定积分的第一换元法、第二换元法、分部积分法。一些简单有理函数的积分。简单元理函数和三角函数有理式的积分。

    2．考核目标
    (1)掌握原函数与不定积分的概念。
    (2)牢记不定积分公式表，熟练地用换元法和分部积分法求不定积分。
    (3)会求简单有理函数，简单无理函数和三角函数有理式的积分。

    (二)定积分

    1．知识范围
    定积分的概念，可积的必要条件，三类可积函数。定积分的性质：包括线性线，有限可加性，单调性和积分第一中值定理。定积分的计算，可变上限积分，牛顿一莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法。

    2．考核目标
    (1)理解定积分概念，记住三类可积函数。
    (2)掌握定积分的性质和微积分基本定理，熟练地应用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分。
    (3)熟练地用定积分换元积分法和分部积分法求定积分。

    (三)定积分在几何上的应用

    1．知识范围
    平面区域的面积，平面曲线的弧长，利用截面面积计算立体的体积，旋转体的侧面积和体积。

    2．考核目标
 
   会用定积分求平面区域的面积，平面曲线的弧长，旋转体的侧面积和体积。
    (四)广义积分
    1．知识范围
    无穷区间上广义积分收敛、发散的概念、绝对收敛与条件收敛的概念，收敛性判别法。
    2．考核目标
    (1)掌握无穷积分收敛与发散的概念，掌握无穷积分绝对敛与条件收敛的概念。
    (2)会用收敛的定义和收敛性判别法判别一些无穷积分的散性。

    四、级数

    (一)数值级数

    1．知识范围
    数值级数的部分和，收敛与发散，和与余和的概念，收敛级的性质，收敛的必要条件，柯西准则。
    正项级数的比较判别法，达朗贝尔判别法，柯西判别法。
    任意项级数的绝对收敛、条件收敛概念，交错级数及其敛散的莱布尼兹判别法。

    2．考核目标
    (1)掌握级数收敛与发散的概念，绝对收敛与条件收敛的念。
    (2)牢记级数的敛散性，熟练地应用比较判另法、达朗贝尔判别法和柯西判别法判别正项级数的收敛性。
    (3)熟练地用莱布尼兹判别法判定交错级数的收敛性。

    (二)幂级数

    1．知识范围
    幂级数的收敛半径、收敛域。幂级数和函数的连续性，可微性与可积性。
    函数的泰勒展开，函数的马克劳林展开式。

    2．考核目标
    (1)会求幂级数的收敛半径、收敛域和函数。
    (2)记住五个函数的马克劳林展开式，并能应用它们将一些简单函数展开成幂级数。

    五、多元函数微分学

    (一)多元函数微分学

    1．知识范围
    多元函数的概念，二元函数的定义域，二元函数的重极限与累次极限，二元函数连续的概念，有界闭区域上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性。
    多元函数的偏导数、二阶偏导数、全微分，复合函数的偏导数与二阶偏导数。

    2．考核目标
    (1)理解二元函数重极限和累次极限的定义，会求二元函数的重极限与累次极限。
    (2)理解二元函数连续的定义与有界闭区域上连续函数的性质。
    (3)熟练地求偏导数、全微分和高阶偏导数，包括复合函数的二阶偏导数。
 
    (二)二重积分

    1．知识范围
    二重积分的概念，二重积分的性质，二重积分的计算，包括化重积分为累次积分，用极坐标变换计算二重积分。应用二重积分计算空间形体的体积、平面图形的面积。

    2．考核目标
    (1)理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。
    (2)熟练地计算二重积分，包括用极坐标变换计算二重积分。
    (3)会用二重积分计算一些简单空间形体的体积和平面图形的面积。
 
    (三)曲线积分

    1知识范围
    第一、二型曲线积分的定义、性质和计算方法，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

    2．考核目标
    (1)熟练地计算第一、二型曲线积分。
    (2)会用格林公式计算第二型曲线积分。知道曲线积分与路径无关的条件。会求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函数。